Question

已知點(diǎn)P（3，4）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，若PF₁⊥PF₂，試求：
（1）橢圓方程；
（2）△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系求出 c 值，橢圓的方程化為

x2

a2

+

y2

a2-25

=1，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，
可解得a²的值，從而得到所求橢圓方程．
（2） P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值即為F₁F₂邊上的高，由 S_△PF1F2 =

1

2

|F₁F₂|×4 求得）△PF₁F₂的面積．

解答：解：（1）  令F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），∵PF₁⊥PF₂，∴k_PF1•k_PF2=-1，
即

4

3+c

•

4

3-c

=-1，解得 c=5，∴橢圓方程為 

x2

a2

+

y2

a2-25

=1．
∵點(diǎn)P（3，4）在橢圓上，∴

9

a2

+

16

a2-25

=1，解得 a²=45，或a²=5，
又a＞c，∴a²=5舍去，故所求橢圓方程為 

x2

45

+

y2

20

=1．
（2） P點(diǎn)縱坐標(biāo)的值即為F₁F₂邊上的高，
∴S_△PF1F2 =

1

2

|F₁F₂|×4=

1

2

×10×4=20．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，以及用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法．