(2008•和平區(qū)三模)定義一種運(yùn)算*,滿足n*k=nλk-1(n,k∈N*,λ為非零實(shí)常數(shù))
(1)對任意給定的k,設(shè)an=n*k(n=1,2…),求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列,并求k=2時,該數(shù)列的前10項(xiàng)和;
(2)對任意給定的n,設(shè)bk=n*k(k=1,2…),求證數(shù)列{bk}是等比數(shù)列,并求出此時該數(shù)列前10項(xiàng)的和;
(3)設(shè)Cn=n*n,試求數(shù)列{Cn}的前n項(xiàng)和Sn,并求當(dāng)λ∈(0,1)時,
limn→∞
Sn
分析:(1)依題意,可求得an=nλk-1,利用等差數(shù)列的定義即可判定數(shù)列{an}是公差為λk-1的等差數(shù)列,當(dāng)k=2時,an=nλ,從而可求該數(shù)列的前10項(xiàng)和;
(2)bk=n*k=nλk-1
bk+1
bk
=λ,可知數(shù)列{bk}是公比為λ的等比數(shù)列,分λ=1與λ≠1,利用等比數(shù)列的求和公式即可求得該數(shù)列前10項(xiàng)的和;
(3)依題意,可求得∴Cn=nλn-1,Sn=1+2λ+3λ2+…+nλn-1,利用錯位相減法即可求得Sn
解答:解:(1)∵an=n*k,又n*k=nλk-1,
∴an=nλk-1,
∴an+1=(n+1)λk-1
∴an+1-ank-1(2分)
∴數(shù)列{an}是公差為λk-1的等差數(shù)列(3分)
當(dāng)k=2時,an=nλ,
∴a1+a2+…+a10=
10(λ+10λ)
2
=55λ(4分)
(2)∵bk=n*k=nλk-1
又λ≠0,
bk+1
bk
=λ,
故數(shù)列{bk}是公比為λ的等比數(shù)列(6分)
當(dāng)λ=1時,b1+b2+…+b10=10n,
當(dāng)λ≠1時,b1+b2+…+b10=
n(1-λ10)
1-λ
(8分)
(3)∵n*k=nλk-1,
∴n*n=nλn-1,
而Cn=n*n
∴Cn=nλn-1,
所以Sn=1+2λ+3λ2+…+nλn-1①(9分)
當(dāng)λ=1時,Sn=1+2+3+…+n=
n(n+1)
2
(10分)
當(dāng)λ≠1時,λSn=λ+2λ2+3λ3+…+nλn②(11分)
①-②得(1-λ)Sn=1+λ+λ23+…+λn-1-nλn
=
1-λn
1-λ
-nλn=
1-(n+1)λn+nλn+1
1-λ

所以Sn=
1-(n+1)λn+nλn+1
(1-λ)2
(13分)
則當(dāng)λ∈(0,1)時,
lim
n→∞
Sn
=
1
(1-λ)2
(14分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的求和,著重考查錯位相減法求和,考查極限的運(yùn)算,突出轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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