Question

(本題滿分14分)
如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是的菱形，ADD``A<sub>1</sub>和CD D`C<sub>1</sub>都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D``與D`重合于點(diǎn)D₁ .設(shè)直線l過點(diǎn)B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點(diǎn)E是直線l上的一個動點(diǎn)，且與點(diǎn)D₁位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
  
(Ⅰ) 設(shè)二面角E – AC – D₁的大小為q，若£q£，求線段BE長的取值范圍；
(Ⅱ)在線段上存在點(diǎn)，使平面平面，求與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0 < BE < a時(shí)，恒有< 1．

Answer 1

（方法1）設(shè)菱形的中心為O，以O為原點(diǎn)，對角線AC，BD所在直線分別為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖1．設(shè)BE =" t" （t > 0）．

（Ⅰ）

設(shè)平面的法向量為，則
        3分
設(shè)平面的法向量為，
則     4分
設(shè)二面角的大小為，則，   6分
∵cosqÎ，  ∴ ，    
解得£ t £． 所以BE的取值范圍是 [，]．    8分
(Ⅱ) 設(shè)，則

由平面平面，得平面，
,化簡得：(t ¹a)，即所求關(guān)系式：（BE ¹a).
∴當(dāng)0< t < a時(shí)，< 1. 即：當(dāng)0 < BE < a時(shí)，恒有< 1．       14分
（方法2）
（Ⅰ）如圖2，連接D₁A，D₁C，EA，EC，D₁O，EO，

∵ D₁A= D₁C，所以，D₁O⊥AC，同理，EO⊥AC，
∴是二面角的平面角．設(shè)其為q．        3分
連接D₁E，在△OD₁E中，設(shè)BE =" t" （t > 0）則有：
OD₁ = ，OE = ，D₁E = ，
∴ .                                  6分
∵cosqÎ，  ∴ ，    
解得£ t £． 所以BE的取值范圍是 [，]．
所以當(dāng)條件滿足時(shí)，£ BE £．                 8分
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)E在平面A₁D₁C₁上方時(shí)，連接A₁C₁，則A₁C₁∥AC，

連接EA₁，EC₁，設(shè)A₁C₁的中點(diǎn)為O₁，則O₁在平面BDD₁內(nèi)，過O₁作O₁P∥OE交D₁E于點(diǎn)P，則平面平面．
作平面BDD₁如圖3．過D₁作D₁B₁∥BD交于l點(diǎn)B₁，設(shè)EO交D₁B₁于點(diǎn)Q．
因?yàn)镺₁P∥OE，所以==，
由Rt△EB₁Q∽RtEBO，得，解得QB₁ = ，得=，  12分
當(dāng)點(diǎn)E在平面A₁D₁C₁下方時(shí)，同理可得，上述結(jié)果仍然成立．       13分
∴有=（BE ¹a），∴當(dāng)0 < t < a時(shí)，< 1.      14分

略