Question

P為圓C₁：x²+y²=9上任意一點(diǎn)，Q為圓C₂：x²+y²=25上任意一點(diǎn)，PQ中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸，在C₂內(nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域M上的概率為（　�。�

• A、

  13

  25

• B、

  3

  5

• C、

  13

  25π

• D、

  3

  5π

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)幾何概型的概率公式，求出相應(yīng)的面積即可得到結(jié)論．
法1：根據(jù)中點(diǎn)代入法，求出滿足條件軌跡方程，即可求相應(yīng)的面積，
法2：利用三角換元法，求出滿足條件軌跡方程，即可求相應(yīng)的面積．

解答： 解：【法1】設(shè)Q（x₀，y₀），中點(diǎn)M（x，y），則P（2x-x₀，2y-y₀）代入x²+y²=9，
得（2x-x₀）²+（2y-y₀）²=9，
化簡(jiǎn)得：（x-

x0

2

）²+（y-

y0

2

）²=

9

4

，
又x₀²+y₀²=25表示以原點(diǎn)為圓心半徑為5的圓，
故易知M軌跡是在以（

x0

2

，

y0

2

）為圓心，
以

3

2

為半徑的圓繞原點(diǎn)一周所形成的圖形，
即在以原點(diǎn)為圓心，寬度為3的圓環(huán)帶上，
即應(yīng)有x²+y²=r²（1≤r≤4），
那么在C₂內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為

16π-π

25π

=

15

25

=

3

5

，
故選B．
【法2】設(shè)P（3cosθ，3sinθ），Q（5cosα，5sinα），M（x，y），
則2x=3cosθ+5cosα，①
2y=3sinθ+5sinα，②，
①²+②²得：x²+y²=

17

2

+

15

2

cos（θ-α）=r²，
所以M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，
以r，（1≤r≤4），為半徑的圓環(huán)，
那么在C₂內(nèi)部任取一點(diǎn)落在M內(nèi)的概率為

16π-π

25π

=

15

25

=

3

5

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)條件求出相應(yīng)的區(qū)域及其面積是解決本題的關(guān)鍵．