Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-1+1過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，則

1

m

+

1

2n

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用2⁰=1可得函數(shù)f（x）=2^x-1+1過(guò)定點(diǎn)A（1，2），由于點(diǎn)A在直線l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵f（1）=2⁰+1=2，
∴函數(shù)f（x）=2^x-1+1過(guò)定點(diǎn)A（1，2），
由點(diǎn)A在直線l：mx+ny=1（m＞0，n＞0）上，
∴m+2n=1．
∴

1

m

+

1

2n

=（m+2n）(

1

m

+

1

2n

)=2+

2n

m

+

m

2n

≥2+2

2n m • m 2n

=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=

1

2

取等號(hào)，
∴

1

m

+

1

2n

的最小值是4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了指數(shù)的運(yùn)性質(zhì)和基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．