Question

5．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足（1-q）S_n+qⁿ=1，且q（q-1）≠0．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列，求證：a₂、a₈、a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）求出a₁=1．利用當(dāng)n≥2時(shí)，由S_n-S_n-1=a_n，利用q（q-1）≠0，說明{a_n}是以1為首項(xiàng)，q為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）求出S_n=$\frac{1-{a}_{n}q}{1-q}$，由S₃+S₆=2S₉，得到a₂+a₅=2a₈．說明a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由（1-q）S₁+q=1，
可得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，由（1-q）S_n+qⁿ=1，
得（1-q）S_n-1+q^n-1=1
兩式相減得a_n=q^n-1，對(duì)n=1也成立．
故a_n=q^n-1．
（2）證明：由（1）可知S_n=$\frac{1-{a}_{n}q}{1-q}$，
又S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列，可得S₃+S₆=2S₉，
得$\frac{1-{a}_{3}q}{1-q}$+$\frac{1-{a}_{6}q}{1-q}$=$\frac{2（1-{a}_{9}q）}{1-q}$，
化簡(jiǎn)得a₃+a₆=2a₉，
兩邊同除以q得a₂+a₅=2a₈．
故a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列求和以及通項(xiàng)公式的求法，考查分析問題解決問題的能力．