Question

8．在△ABC中，E為AC上一點，且$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，P為BE上一點，且滿足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是9．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，且滿足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），可得 $\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+4n\overrightarrow{AE}$．由向量共線定理可得：m+4n=1．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AE}$，且滿足$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（m＞0，n＞0），
∴$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+4n\overrightarrow{AE}$．
∵P為BE上一點，
由向量共線定理可得：m+4n=1．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+4n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=5+$\frac{4n}{m}+\frac{m}{n}$$≥5+2\sqrt{\frac{4n}{m}•\frac{m}{n}}$=9，當且僅當m=2n=$\frac{1}{3}$時取等號．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是9．
故答案為：9．

點評 本題考查了向量共線定理、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．