Question

15．若對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，n，有m³+n³≥log₃[$\sqrt{（{m}^{2}+1）}$-m]+log₃[$\sqrt{（{n}^{2}+1）}$-n]成立，則有（　�。�

• A． m+n≥0
• B． m+n≤0
• C． m-n≤0
• D． m-n≥0

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=${x}^{3}-lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，判斷函數(shù)為增函數(shù)且為奇函數(shù)，結(jié)合已知得答案．

解答 解：設(shè)f（x）=${x}^{3}-lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，
則由其導(dǎo)函數(shù)大于0可得f（x）為增函數(shù)，
又f（x）+f（-x）=$lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）（\sqrt{{x}^{2}+1}+x）$=log₃1=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
由已知式得f（m）≥-f（n）=f（-n），
∴m≥-n，
∴m+n≥0，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)f（x）=${x}^{3}-lo{g}_{3}（\sqrt{{x}^{2}+1}-x）$，是中檔題．