Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO=2，PO=

2

，PB⊥PD．設(shè)點(diǎn)M在棱PC上，問M點(diǎn)在什么位置時，PC⊥平面BMD．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件得到OD=OC=1，BO=AO=2；再建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；結(jié)合P，M，C三點(diǎn)共線得到關(guān)于點(diǎn)M的坐標(biāo)的一個等量關(guān)系；再結(jié)合PC⊥平面BMD求出關(guān)于點(diǎn)M的坐標(biāo)的另一個等量關(guān)系即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷出其所在位置．

解答：解：∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥BD 
又PB⊥PD，BO=2，PO=

2

由平面幾何知識得：OD=OC=1，BO=AO=2
以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（-1，0，0），
D（0，-1，0），P（0，0，

2

）
設(shè)M（x₀，0，z₀），
由于P，M，C三點(diǎn)共線，
得

PM

∥

PC

，
即(x0，0，z0-

2

) ∥(-1，0，-

2)

由對應(yīng)系數(shù)成比例有z0=

2

x0 +

2

，
則M(x0，0，

2

x0+

2

)
∵PC⊥平面BMD，
∴

PC

⊥

BM

，
∴(-1，0，-

2

)•(x0，-2，

2

x0+

2

)=0
得x0=-

2

3

，
所以z0=

2

3

∴M(-

2

3

，0，

2

3

)
故

PM

MC

=2
則M點(diǎn)是靠近C點(diǎn)的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考察空間向量知識在解決線面垂直，平行中的應(yīng)用問題．是對基礎(chǔ)知識的綜合考查，屬于中檔題目，這種方法做題的關(guān)鍵在于點(diǎn)的坐標(biāo)不能出錯．