Question

已知a、b為正實數(shù)，直線y=x-a與曲線y=ln（x+b）相切，則

a2

2+b

的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（0，1）
• C、（0，+∞）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答： 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=

1

x+b

=1，x=1-b，切點為（1-b，0），代入y=x-a，得a+b=1，
∵a、b為正實數(shù)，∴a∈（0，1），
則

a2

2+b

=

a2

3-a

，
令g（a）=

a2

3-a

，則g′（a）=

a(6-a)

(3-a)2

＞0，
則函數(shù)g（a）為增函數(shù)，
∴

a2

2+b

∈（0，

1

2

）．
故選：A

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．