Question

在某次三星杯圍棋決賽中，小將A以2：0戰(zhàn)勝上屆冠軍B，引起B(yǎng)所在國圍棋界一片嘩然！已知三星杯決賽采用的是三局兩勝制，若選手A在一次對決中戰(zhàn)勝選手B的概率為

2

5

．
（Ⅰ）求選手A戰(zhàn)勝選手B的概率；
（Ⅱ）若賽制改為七局四勝制，即選手A戰(zhàn)勝選手B所需局?jǐn)?shù)為X，求X的期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）依題意，選手A戰(zhàn)勝選手B分兩種情況：2：0和2：1，即可求選手A戰(zhàn)勝選手B的概率；
（Ⅱ）依題意，X可取4，5，6，7，此時選手A戰(zhàn)勝選手B的比分為4：0，4：1，4：2，4：3，利用概率公式求出每一個可能值下的概率，再利用期望定義求解．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，選手A戰(zhàn)勝選手B分兩種情況：2：0和2：1
所以所求概率為0.4²+

C

1 2

×0.6×0.4²=0.352．
（Ⅱ）依題意，X可取4，5，6，7，此時選手A戰(zhàn)勝選手B的比分為4：0，4：1，4：2，4：3，對應(yīng)的情況分別為0.4⁴，

C

1 4

×0.6×0．44，

C

2 5

×0.6²×0.4⁴，

C

3 6

×0.6³×0.4⁴，其和為11.32×0.4⁴，
所以P（X=4）=

1

11.32

，P（X=5）=

2.4

11.32

，P（X=6）=

3.6

11.32

，P（X=7）=

2.16

11.32

故X的期望為4×

1

11.32

+5×

2.4

11.32

+6×

3.6

11.32

+7×

2.16

11.32

=4.834．

點(diǎn)評：此題考查了學(xué)生的理解題意的能力，還考查了獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式及離散型隨機(jī)變量的定義及分布列，還考查了離散型隨機(jī)變量的期望．