Question

13．已知橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），點(diǎn)F₁（-1，0）、C（-2，0）分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線l（不與x軸重合）交M于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若$A（0，\sqrt{3}）$，求△AOB的面積；
（3）是否存在直線l，使得點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)的坐標(biāo)可知$a=2，b=\sqrt{3}$，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過(guò)兩點(diǎn)式可知直線l的方程為：$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$，并與橢圓方程聯(lián)立可得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，進(jìn)而利用三角形面積公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)設(shè)B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），利用$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=0即$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{B{F}_{1}}$=0，化簡(jiǎn)即可．

解答 解：（1）由F₁（-1，0）、C（-2，0）得：$a=2，b=\sqrt{3}$．…（2分）
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；   …（4分）
（2）因?yàn)?A（0，\sqrt{3}）$，F(xiàn)₁（-1，0），
所以過(guò)A、F₁的直線l的方程為：$\frac{x}{-1}+\frac{y}{{\sqrt{3}}}=1$，
即$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$，…（6分）
解方程組$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得${y_1}=\sqrt{3}，{y_2}=-\frac{{3\sqrt{3}}}{5}$，…（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×1×|{y_1}-{y_2}|=\frac{{4\sqrt{3}}}{5}$；…（10分）
（2）結(jié)論：不存在直線l使得點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上．
理由如下：
設(shè)B（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$．
假設(shè)點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上，
則$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{BA}$=0，即$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{B{F}_{1}}$=0，
因?yàn)镃（-2，0），F(xiàn)₁（-1，0），
所以 $\overrightarrow{B{F_1}}•\overrightarrow{BC}=（-1-{x_0}，-{y_0}）•（-2-{x_0}，-{y_0}）$
=$2+3{x_0}+x_0^2+y_0^2$
=$\frac{1}{4}{x_0}^2+3{x_0}+5=0$，…（12分）
解得：x₀=-2或-6，…（14分）
又因?yàn)?2＜x₀＜-6，所以點(diǎn)B不在以AC為直徑的圓上，
即不存在直線l，使得點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上． …（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．