Question

若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在約束條件下的最大值是4，則直線ax+by-1=0截圓x²+y²=1所得的弦長的范圍是________．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是線性規(guī)劃，處理的思路為：根據(jù)已知的約束條件 ，畫出滿足約束條件的可行域，再根據(jù)目標函數(shù)z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值為4，求出a，b的關系式，再利用直線與圓的位置關系求得的弦長的范圍．
解答：解：滿足約束條件 的區(qū)域是一個三角形，如圖
3個頂點是（0，0），（1，0），（ 2，2），
由圖易得目標函數(shù)在（2，2）取最大值4，
此時2a+2b=4，即a+b=2，
在條件：a+b=2，a＞0，b＞0下，由不等式知識可得：
a²+b²的取值范圍是：2≤a²+b²＜4
設直線ax+by-1=0截圓x²+y²=1所得的弦長為l，弦心距為d
則：l²+d²=r²=1，其中∈（，]
∴l²=1-d²∈[，）
∴l(xiāng)²∈[2，3）
可得弦長l的范圍是的范圍是
故答案為：．
點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．