如圖,四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD垂直于底面ABCD,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,CD=
3
,M在棱PC上,N是AD的中點,二面角M-BN-C為30°.
(1)求
PM
MC
的值;
(2)求直線PB與平面BMN所成角的大。
分析:解法一(幾何法):(Ⅰ)作ME∥CD交CD于E,由已知中,∠ADC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=2BC=2,N是AD的中點,可得BN⊥AD,結(jié)合側(cè)面PAD垂直于底面ABCD,及面面垂直和線面垂直的性質(zhì)可得BN⊥NE,即∠DNE為二面角M-BN-C的平面角,由二面角M-BN-C為30°,可得∠DNE=30°,可求出DE=
1
4
DP,進(jìn)而得到
PM
MC
的值;
(2)連接BE,由(Ⅰ)可知PE⊥平面BMN,即∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角.連接PN,則PN⊥平面ABCD,從而PN⊥BN,解△PBE可得直線PB與平面MBN所成的角.
解法二(向量法):(Ⅰ)建立如圖所示的坐標(biāo)系N-xyz,設(shè)
PM
MC
(λ>0),則M(
1+λ
,
3
λ
1+λ
,
3
1+λ
),求出面MBN的法向量,及面BNC的法向量,由二面角M-BN-C為30°,求出λ值,即可得到
PM
MC
的值;
(Ⅱ)由(Ⅰ),
n
=(
3
,0,3)為面MBN的法向量,設(shè)直線PB與平面MBN所成的角為θ,求出PB的方向向量
PB
,代入線面夾角公式sinθ=
|
PB
n
|
|
PB
||n|
,可得直線PB與平面MBN所成的角.
解答:解法一(幾何法):(Ⅰ)作ME∥CD,ME∩PD=E.
∵∠ADC=∠BCD=90°,AD=2BC=2,N是AD的中點,
∴BN⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,
∴BN⊥平面PAD,
∴BN⊥NE,
∠DNE為二面角M-BN-C的平面角,
即∠DNE=30°.…(3分)
∵PA=PD=AD,
∴∠PDN=60°,
∴∠DEN=90°,
∴DE=
1
4
DP,
∴CM=
1
4
CP,故
PM
MC
=3.…(6分)
(Ⅱ)連接BE,由(Ⅰ)的解答可知PE⊥平面BMN,
則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角.
連接PN,則PN⊥平面ABCD,從而PN⊥BN,
∴PB=
PN2+BN2
=
PN2+CD2
=
6
,…(9分)
又PE=
3
4
PD=
3
2
,∴sin∠PBE=
PE
PB
=
6
4

所以直線PB與平面MBN所成的角為arcsin
6
4
.…(12分)
解法二(向量法):
(Ⅰ)建立如圖所示的坐標(biāo)系N-xyz,
其中N(0,0,0),A(1,0,0),B(0,
3
,0),C(-1,
3
,0),D(-1,0,0),
P(0,0,
3
).
設(shè)
PM
MC
(λ>0),則M(
1+λ
,
3
λ
1+λ
3
1+λ
),
于是
NB
=(0,
3
,0),
NM
=(
1+λ
,
3
λ
1+λ
3
1+λ
),…(3分)
設(shè)
n
=(x,y,z)為面MBN的法向量,則
NB
n
=0,
NM
n
=0,
3
y=0,-λx+
3
λy+
3
z=0,取
n
=(
3
,0,λ),
m
=(0,0,1)為面BNC的法向量,由二面角M-BN-C為30°,得
|cos<
m
,
n
>|=
|
m
n
|
|
m
||
n
|
=
λ
3+λ2
=cos30°=
3
2
,
解得λ=3,
PM
MC
=3.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ),
n
=(
3
,0,3)為面MBN的法向量,…(8分)
設(shè)直線PB與平面MBN所成的角為θ,由
PB
=(0,
3
,-
3
),得
sinθ=
|
PB
n
|
|
PB
||n|
=
3
3
6
×2
3
=
6
4
,
所以直線PB與平面MBN所成的角為arcsin
6
4
.…(12分)
點評:本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角,其中方法一的關(guān)鍵是熟練掌握二面角及線面夾角的定義,方法二的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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