Question

17．已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，$bcosA+\sqrt{3}bsinA-c-a=0$．
（1）求角B的大��；     
（2）若$b=\sqrt{3}$，求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡已知的等式，由內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式化簡后，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B；
（2）由（1）和余弦定理列出方程化簡后，利用完全平方公式和基本不等式求出a+c的最大值．

解答 解：（1）由題意得，$bcosA+\sqrt{3}bsinA-c-a=0$，
由正弦定理得，$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sinC-sinA=0$，
所以$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sin（{A+B}）-sinA=0$，
則$sinBcosA+\sqrt{3}sinBsinA-sinAcosB-cosAsinB-sinA=0$，
化簡得，$\sqrt{3}sinBsinA-sinAcosB-sinA=0$，
又sinA≠0，則$\sqrt{3}sinB-cosB=1$，…（4分），
即$sin（{B-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$，
由于B∈（0，π），所以$B=\frac{π}{3}$…（7分）
（2）由（1）和余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB…（9分），
又b=$\sqrt{3}$，化簡得a²+c²-ac=3…（11分），
所以${（{a+c}）^2}=3+3ac≤3+3{（{\frac{a+c}{2}}）^2}$，
解得a+c≤$2\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c取等號(hào)…（14分）
所以當(dāng)$a=c=\sqrt{3}$時(shí)，a+c的最大值為$2\sqrt{3}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式，以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．