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在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，重合后的點記為,構成一個三棱錐．

（1）請判斷與平面的位置關系，并給出證明；

（2）證明平面；

（3）求二面角的余弦值．

 

【答案】

（1）平行；（2）證明和即可；（3）

【解析】

試題分析：本題考查空間想象能力，在折疊過程中，找到不變的量是求解的關鍵.（1）由中位線定理，可證明平行；（2）證明和即可；（3）注意到三角形MEF、BEF都是等腰三角形，因此，取EF的中點即可求出二面角.

試題解析：（1）平行平面

證明：由題意可知點在折疊前后都分別是的中點（折疊后兩點重合）

所以平行,

因為，所以平行平面.

（2）證明：由題意可知的關系在折疊前后都沒有改變.

因為在折疊前，由于折疊后，點，所以

因為，所以平面.

（3）解：

所以是二面角的平面角.

因為⊥，所以.

在中， ，由于，所以，

于是.

所以，二面角的余弦值為.

考點：1、線面平行；2、線面垂直的判定；3、二面角的概念及其求法.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2013-2014學年福建四地六校高三上學期第三次月考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．

（Ⅰ）在三棱錐上標注出、點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點，且,問是否存在點使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年廣東省佛山市高三5月臨考集訓文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．

（1）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（2）證明AB⊥平面BEF；

（3）求多面體E-AFNM的體積．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三5月模擬考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．

   

（Ⅰ）在三棱錐上標注出、點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（Ⅱ）是線段上一點，且, 問是否存在點使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合，構成一個三棱錐．

（I）判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；

（II）求多面體E-AFMN的體積．

                 

【解析】第一問因翻折后B、C、D重合（如下圖），所以MN應是的一條中位線，則利用線線平行得到線面平行。

第二問因為平面BEF，……………8分

且，

∴，又　∴

（1）因翻折后B、C、D重合（如圖），

所以MN應是的一條中位線，………………3分

則．………6分

（2）因為平面BEF，……………8分

且，

∴，………………………………………10分

又　∴

 

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