Question

若函數(shù)f（x）=

ax(x+1)，x≥0 x(a-x)，x＜0

為奇函數(shù)，則滿足f（x）＜2的解集是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和定義即可得到結(jié)論．

解答： 解：若x＞0，則-x＜0，
則f（-x）=-x（a+x），f（x）=ax（x+1），
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
則-x（a+x）=-ax（x+1），
即ax+x²=ax²+ax，
即x²=ax²，
解得a=1，
即f（x）=

x(x+1)， x≥0 x(1-x)， x＜0

，
若x≥0，由f（x）＜2得x（x+1）＜2，即x²+x-2＜0，解得-2＜x＜1，此時0≤x＜1，
若x＜0，由f（x）＜2得-x（1-x）＜2，即x²+x+2＞0，此時不等式恒成立，此時x＜0，
綜上不等式的解集為（-∞，0）∪[0，1）．
故答案為：（-∞，0）∪[0，1）

點評：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．