Question

6．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，試問(wèn)：是否存在過(guò)點(diǎn)A（2，1）的直線與雙曲線交于相異兩點(diǎn)P、Q．且點(diǎn)A平分線段PQ？

Answer 1

分析 假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進(jìn)而求得直線PQ的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程，再加以檢驗(yàn)即可判斷．

解答 解：假設(shè)存在這樣的直線，點(diǎn)A平分線段PQ．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∵4x₁²-y₁²=4，4x₂²-y₂²=4，
∴16（x₁-x₂）-2（y₁-y₂）=0，
∴k_PQ=8，
∴直線的方程為y-1=8（x-2），即8x-y-15=0．
聯(lián)立雙曲線方程，消去y，可得60x²-240x+229=0，
由判別式為240²-4×60×229＞0，
可得存在這樣的直線，點(diǎn)A平分線段PQ．

點(diǎn)評(píng) 涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化．