Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{6}$=1的離心率互為倒數(shù)，且過點(diǎn)（-2，3）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)R（3，0）作與x軸不重合的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ并延長分別交直線x=$\frac{16}{3}$于M，N兩點(diǎn)．試問直線MR，NR的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，由離心率公式，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1過點(diǎn)（-2，3），和橢圓a，b，c的關(guān)系，即可求得a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及三點(diǎn)共線求得R，S的縱坐標(biāo)，再由直線的斜率公式，即可計(jì)算直線RT與直線ST的斜率之積為一定值．

解答 解：（1）$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{6}$=1的離心率為2，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$=$\frac{c}{a}$，
∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1過點(diǎn)（-2，3），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{^{2}}=1$，
∴a=4，b=2$\sqrt{3}$，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$（5分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），若直線PQ與縱軸垂直，
則M，N中有一點(diǎn)與A重合，與題意不符，
故可設(shè)直線PQ：x=my+3．（6分）
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去x得：（3m²+4）y²+18my-21=0（7分）
y₁+y₂=-$\frac{18m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{21}{3{m}^{2}+4}$（8分）
由A，P，M三點(diǎn)共線可知，y_M=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}$，（9分）
同理可得y_N=$\frac{28}{3}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$（10分）
∴k_MR•k_NR=$\frac{{y}_{M}}{\frac{16}{3}-3}$•$\frac{{y}_{N}}{\frac{16}{3}-3}$=$\frac{16{y}_{1}{y}_{2}}{（{x}_{1}+4）（{x}_{2}+4）}$（11分）
而（x₁+4）（x₂+4）=（my₁+7）（my₂+7）=m²y₁y₂+7m（y₁+y₂）+49（12分）
所以k_MR•k_NR=$\frac{16×\frac{-21}{3{m}^{2}+4}}{{m}^{2}•\frac{-21}{3{m}^{2}+4}+7m•\frac{-18m}{3{m}^{2}+4}+49}$=-$\frac{12}{7}$．
故直線MR、NR的斜率之積為定值-$\frac{12}{7}$．（14分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式的運(yùn)用，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題和易錯(cuò)題．