Question

【題目】已知函數(shù)有且只有一個零點，其中.

（1）求的值；

（2）若對任意的，有成立，求實數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合題中條件得，列方程即可求出結(jié)果；

（2）由（1）知，先分析，當時，由知不合題意；當時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分和兩種情況討論，即可求出結(jié)果.

解：（1）的定義域為，.

由，得.

∵當時，；當時，，

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，

∴在處取得最大值，由題意知，解得；

（2）由（1）知，

當時，取，，知不合題意；

當時，設(shè)，則，

令，得，，

①若，即時，在上恒成立，

所以在上是增函數(shù)，

從而總有，即在上恒成立；

②若，即時，對于，，

所以在上單調(diào)遞減，

于是，當取時，，即不成立，

故不合題意.

綜上，的最大值為.