Question

設函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）．
（1）當a=1時，若方程f（x）=t在[-

1

2

，1]上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在定義域上零點個數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,綜合題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）將a=1代入函數(shù)表達式化簡，求導，根據(jù)導數(shù)的正負判斷單調區(qū)間，再求極值與端點上的函數(shù)值，結合函數(shù)圖象求出實數(shù)t的取值范圍；
（2）對f（x）求導，討論a的取值確定導數(shù)的正負，對a＞0時，討論f（x）_max的正負，從而確定函數(shù)零點的個數(shù)．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=x-（x+1）ln（x+1），（x＞-1），
f′（x）=-ln（x+1），
則當x∈[-

1

2

，0）時，f′（x）＞0，當x∈（0，1]時，f′（x）＜0，
則f（x）在[-

1

2

，0]上單調遞增，在[0，1]上單調遞減，
又∵f（0）=0-（0+1）ln（0+1）=0，
f（1）=1-（1+1）ln（1+1）=1-ln4，
f（-

1

2

）=-

1

2

-（-

1

2

+1）ln（-

1

2

+1）=-

1

2

+

1

2

ln2，
f（1）-f（-

1

2

）=

3

2

-ln4

2

＜0，
∴當t∈[-

1

2

+

1

2

ln2，0）時，方程f（x）=t有兩個實數(shù)解．
（2）∵f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，
①a=0時，f（x）=x在（-1，+∞）上有一個零點0，
②當a＞0時，由f′（x）=1-aln（x+1）-a＞0可解得，
-1＜x＜e

1-a

a

-1，
則f（x）在（-1，e

1-a

a

-1]上單調遞增，在[e

1-a

a

-1，+∞）上單調遞減，
f（x）_max=f（e

1-a

a

-1）=ae

1-a

a

-1=a（e

1-a

a

-

1

a

），
令g（a）=e

1-a

a

-

1

a

=e

1

a

-1-

1

a

，令

1

a

=t，（t＞0）
則h（t）=e^t-1-t，（t＞0）
則h′（t）=e^t-1-1，t＞0
則h（t）_min=h（1）=0，
當t=1，即a=1時，f（x）_max=ag（a）=0，
f（x）有一個零點；
當t≠1，即a≠1時，f（x）_max=ag（a）＞0，
f（x）有兩個零點．
綜上所述，
當a=0或a=1時，函數(shù)f（x）在定義域上有1個零點，
當a≠0且a≠1時，函數(shù)f（x）在定義域上有2個零點．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．