Question

12．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=5，AD=4，BD=3，將△BCD沿著B(niǎo)D翻折到平面BC₁D處，E，F(xiàn)分別為邊AB，C₁D的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）若異面直線EF，BC₁所成的角為30°，求直線C₁D與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先連接CC₁，取CC₁的中點(diǎn)G，并連接FG，BG，從而可說(shuō)明四邊形FGBE為平行四邊形，從而得到EF∥BG，根據(jù)線面平行的判定定理即可得到EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）容易說(shuō)明∠C₁BG=30°，從而得到∠C₁BC=60°，從而△BCC₁為等邊三角形，能夠說(shuō)明直線AB⊥平面BCC₁，從而得到平面ABCD⊥平面BCC₁．取BC中點(diǎn)H，連接C₁H，從而有C₁H⊥BC，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即知C₁H⊥平面ABCD，連接DH，∠C₁DH便是直線C₁D和平面ABCD所成的角，根據(jù)已知邊的長(zhǎng)度即可求C₁D，C₁H，從而能求出sin∠C₁DH．

解答 解：（Ⅰ）證明：連接CC₁，取CC₁的中點(diǎn)G，連接FG，BG，則：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別為AB，C₁D的中點(diǎn)；
∴FG∥BE，且FG=BE；
∴四邊形BEFG是平行四邊形；
∴EF∥BG，BG?平面BCC₁，EF?平面BCC₁；
∴EF∥平面BCC₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∠C₁BG為異面直線EF，BC₁所成的角，∴∠C₁BG=30°，∠C₁BC=60°；
又BC=BC₁，∴△C₁BC為等邊三角形；
AB=5，AD=4，BD=3，∴∠ADB=∠CBD=∠C₁BD=90°；
∴BD⊥BC，BD⊥BC₁，且BC∩BC₁=B；
∴BD⊥平面BCC₁；
∴平面ABCD⊥平面BCC₁，平面ABCD∩平面BCC₁=BC；
取BC中點(diǎn)H，連接C₁H，則C₁H⊥平面ABCD；
連接DH，則∠C₁DH即為直線C₁D和平面ABCD所成的角；
∴$sin∠{C}_{1}DH=\frac{{C}_{1}H}{{C}_{1}D}=\frac{2\sqrt{3}}{5}$；
∴直線C₁D與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的定義，線面平行的判定定理，異面直線所成角的定義，線面垂直、面面垂直的判定定理，以及面面垂直的性質(zhì)定理，線面角的定義及求法．