點P為底邊長為2
3
，高為2的正三棱柱表面上的動點，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則
PM
•
PN
取值范圍是（　　）
A、[0，2]
B、[0，3]
C、[0，4]
D、[-2，2]
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,平面向量及應用,空間位置關系與距離
分析：由題意，問題等價于已知MN是邊長為2
3
的正△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動點，求
PM
•
PN
的取值范圍．建立直角坐標系，利用正三角形的中心的性質(zhì)，可得內(nèi)切圓的半徑r=1．可得正△ABC內(nèi)切圓的方程為x2+（y-1）2=1．設P（t，0）（-
3
≤t≤
3
），M（x0，y0），N（-x0，2-y0），再利用數(shù)量積運算即可得出．
解答： 解：由題意，問題等價于已知MN是邊長為2
3
的正△ABC
內(nèi)切圓的一條直徑，P為邊AB上的一動點，
求
PM
•
PN
的取值范圍．
建立如圖所示的直角坐標系，
∵⊙D是邊長為2
3
的正△ABC內(nèi)切圓，
∴內(nèi)切圓的半徑r=
1
3
|OC|=
1
3
×
3
2
×2
3
=1．
∴正△ABC內(nèi)切圓的方程為x2+（y-1）2=1．
設P（t，0）（-
3
≤t≤
3
），
M（x0，y0），N（-x0，2-y0）．
PM
=（x0-t，y0），
PN
=（-x0-t，2-y0），
∴x02+（y0-1）2=1，即x02+y02-2y0=0．
∴
PM
•
PN
=t2-（x02+y02-2y0）=t2，
∵-
3
≤t≤
3
．∴t2∈[0，3]．
∴
PM
•
PN
的取值范圍的取值范圍是[0，3]．
故選B．
點評：本題考查了正三角形的中心的性質(zhì)、內(nèi)切圓的方程、數(shù)量積的運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosx，sin
x
2
)，
b
=(0，cos
x
2
)，x∈R，若函數(shù)f（x）=2+sinx-|a-b|2，且函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關于原點成中心對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-
π
2
，
π
2
]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）是否存在常數(shù)t（t≥0），當t∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且區(qū)間D的長度為12-t（視區(qū)間[a，b]的長度為b-a），若存在，求出所有滿足條件的t，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將下列函數(shù)轉(zhuǎn)化為Asin（ωx+φ）+B的形式，
（1）f（x）=cosx（sinx-cosx）+1
（2）f（x）=2
3
sinxcosx-2sin2x．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若不等式ax2＞lnx+1對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若不等式（a-a2）•（x2+1）+x≤0對一切x∈[（0，2]恒成立，則a的取值范圍為（　�。�
A、（-∞，
1-
3
2
）
B、[
1+
3
2
，+∞）
C、[
1-
3
2
，
1+
3
2
]
D、（-∞，
1-
3
2
]∪[
1+
3
2
，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=2014，且an+2an+1+an+2=0（n∈N*），則S2014=（　�。�
A、2013B、2014
C、1D、0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，若a=55，b=16，且
1
2
absinC=220
3
，求角C．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線8y-x2=0的焦點F到直線l：x-y-1=0的距離是（　�。�
A、
5
2
2
B、
2
C、
2
2
D、
3
2
2

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