Question

已知向量

a

=(cosx，sin

x

2

)，

b

=(0，cos

x

2

)，x∈R，若函數(shù)f（x）=2+sinx-|a-b|²，且函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在x∈[-

π

2

，

π

2

]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)向量的坐標運算求出向量的坐標和向量的模，進一步求出f（x）的關(guān)系式及g（x）的關(guān)系式．
（Ⅱ）利用上步的結(jié)論，進一步利用三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，利用恒成立問題求出參數(shù)的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）向量

a

=(cosx，sin

x

2

)，

b

=(0，cos

x

2

)，則：

a

-

b

=(cosx，sin

x

2

-cos

x

2

)
|

a

-

b

|=|

a

-

b

|2=cos2x+1-sinx
則：f（x）=2+sinx-|a-b|²
=2+2sinx-cos²x
=sin²x+2sinx
由于函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點成中心對稱．
所以：g（x）=-f（-x）=-sin²x+2sinx
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：h（x）=g（x）-λf（x）+1
=-sin²x+2sinx-λsin²x-2λsinx+1
=-（1+λ）sin²x+2（1-λ）sinx+1sin²x+2（1-λ）sinx+1
所以：h′（x）=-（1+λ）2sinxcosx+2（1-λ）cosx
=2cosx[-（1+λ）sinx+1-λ]
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]函數(shù)h（x）是增函數(shù)．
所以h′（x）≥0
又由于cosx≥0
故只需[-（1+λ）sinx+1-λ]＞0即可．
則：λ＜

1-sinx

1+sinx

=

2

1+sinx

-1
則λ≤(

2

1+sinx

-1)min即可
由于x∈[-

π

2

，

π

2

]時，(

2

1+sinx

-1)min≥0
所以：λ≤0

點評：本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量的模，函數(shù)圖象的對稱問題，三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系恒成立問題的應(yīng)用，屬于中等題型．