Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時f（x）＞1，且對任意實數(shù)x、y，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（l）證明：當(dāng)x＜O吋，0＜f（x）＜1；
（2）證明：f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）若f（x²）•f（2x-x²+2）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出f（0）=0，再令y=-x，即可證明
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，作差，利用所給恒等式進(jìn)行變形，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，進(jìn)而證明出f（x）的單調(diào)性；
（3）由函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解得即可．

解答： 解：（1）令x=y=0，
則f（0）=f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1，
再令y=-x，
則f（0）=f（x）•f（-x），
∵當(dāng)x＞0時f（x）＞f1，
∴0＜f（-x）＜1，
即當(dāng)x＜O吋，0＜f（x）＜1；
（2）令x₁＜x₂，
∵x₁-x₂＜0，
∴0＜f（x₁-x₂）＜1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）•f（x₂）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（3）∵f（x²）•f（2x-x²+2）＞1，
∴f（x²•（2x-x²+2）＞f（0），
∴x²•（2x-x²+2）＞0，
∴2x-x²+2＞0
解得1-

3

＜x＜1+

3

故不等式的解集為（1-

3

，1+

3

）

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法