Question

【題目】已知 ，函數(shù) .
（1）當(dāng) 時(shí)，解不等式 ；
（2）若關(guān)于 的方程 的解集中恰好有一個(gè)元素，求 的取值范圍；
（3）設(shè) ，若對(duì)任意 ，函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過1，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，
解得 ．
（2）解： ， ，
當(dāng) 時(shí)， ，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．
當(dāng) 時(shí)， ，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．
當(dāng) 且 時(shí)， ， ， ．
是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ；
是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ．
于是滿足題意的 ．
綜上， 的取值范圍為 ．
（3）解：當(dāng) 時(shí)， ， ，
所以 在 上單調(diào)遞減．
函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值分別為 ， ．
即 ，對(duì)任意
成立．
因?yàn)? ，所以函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增， 時(shí)，
有最小值 ，由 ，得 ．
故 的取值范圍為 ．
【解析】（1）當(dāng)a=5時(shí)，解導(dǎo)數(shù)不等式即可．
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，討論a的取值范圍進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)條件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集；復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”．