【題目】已知在梯形ABCD中,∠ADC= ,AB∥CD,PC⊥平面ABCD,CP=AB=2DC=2DA,點E在BP上,且EB=2PE.
(1)求證:DP∥平面ACE;
(2)求二面角E﹣AC﹣P的余弦值.
【答案】
(1)證明:連接DB交AC于點O,連接OE,
∵AB∥CD,∴ ,
∵EB=2PE,∴ ,
∴OE∥PD.
∵DP平面ACE,OE平面ACE,
∴DP∥平面ACE
(2)解:設(shè)CD=1,∵∠ADC= ,且PC⊥平面ABCD,
故以C為原點,過點C與AD平行的直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸距離空間直角坐標系.
則C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,﹣1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
設(shè)E(xE,yE,zE),由EB=2PE,得 ,
∴(xE,yE,zE﹣2)= (1,﹣1,﹣2),得E( ).
,
設(shè)平面ACE的一個法向量為 .
由 ,取x=1,得 .
取AC的中點M,連接MD,可得M( ),
∴ .
由DA=DC,得MD⊥AC,
由PC⊥底面ABCD,得MD⊥PC,
又AC∩PC=C,∴MD⊥平面PAC,
∴ 是平面PAC的一個法向量.
∴|cos< >|= .
由圖可知,二面角E﹣AC﹣P為銳二面角,
∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值為 .
【解析】(1)連接DB交AC于點O,連接OE,由已知結(jié)合平行線成比例可得OE∥PD.再由線面平行的判定可得DP∥平面ACE;(2)設(shè)CD=1,由∠ADC= ,且PC⊥平面ABCD,故以C為原點,過點C與AD平行的直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸距離空間直角坐標系.求出平面ACE的一個法向量,再證明MD⊥平面PAC,可得 是平面PAC的一個法向量.由兩法向量所成角的余弦值求得二面角E﹣AC﹣P的余弦值.
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點,需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為 ,其中左焦點為 .
(1)求橢圓 的方程;
(2)過 的直線 與橢圓 相交于 兩點,若 的面積為 ,求以 為圓心且與直線 相切的圓的方程.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCP中,CP∥AB,CP⊥CB,AB=BC= CP=2,D是CP中點,將△PAD沿AD折起,使得PD⊥面ABCD;
(Ⅰ)求證:平面PAD⊥平面PCD;
(Ⅱ)若E是PC的中點.求三棱錐A﹣PEB的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=exlnx(x>0),若對 使得方程f(x)=k有解,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,ee]
B.[ee , +∞)
C.[e,+∞)
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 滿足an= +2n﹣2,n∈N* , 且S2=6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明: + + +…+ < .
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【題目】在平面直角坐標系xoy中,點 ,圓F2:x2+y2﹣2 x﹣13=0,以動點P為圓心的圓經(jīng)過點F1 , 且圓P與圓F2內(nèi)切.
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)若直線l過點(1,0),且與曲線E交于A,B兩點,則在x軸上是否存在一點D(t,0)(t≠0),使得x軸平分∠ADB?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民購買水果和牛奶的年支出費用與購買食品的年支出費用的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
購買食品的年支出費用x(萬元) | 2.09 | 2.15 | 2.50 | 2.84 | 2.92 |
購買水果和牛奶的年支出費用y(萬元) | 1.25 | 1.30 | 1.50 | 1.70 | 1.75 |
根據(jù)上表可得回歸直線方程 ,其中 ,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶購買食品的年支出費用為3.00萬元的家庭購買水果和牛奶的年支出費用約為( )
A.1.79萬元
B.2.55萬元
C.1.91萬元
D.1.94萬元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 ,函數(shù) .
(1)當 時,解不等式 ;
(2)若關(guān)于 的方程 的解集中恰好有一個元素,求 的取值范圍;
(3)設(shè) ,若對任意 ,函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過1,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(1)當時,解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素,求的取值范圍;
(3)設(shè),若對任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1,求的取值范圍.
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