Question

已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax³-bx（x∈R）圖象上相異兩點(diǎn)A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁∥l₂．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；并判斷A，B是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
（2）若直線l₁，l₂都與AB垂直，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（-x）=a（-x）³-b（-x）=-（ax³-bx）=-f（x），…（2分）
∴f（x）為奇函數(shù)．…（3分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，又f'（x）=3ax²-b，…（5分）
∵f（x）在兩個(gè)相異點(diǎn)A，B處的切線分別為l₁，l₂，且l₁∥l₂，
∴，
∴，又x₁≠x₂，∴x₁=-x₂，…（6分）　　
又∵f（x）為奇函數(shù)，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．…（7分）
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），
∴，…（8分）
又f（x）在A處的切線的斜率，
∵直線l₁，l₂都與AB垂直，
∴，…（9分）
令，即方程3t²-4bt+b²+1=0有非負(fù)實(shí)根，…（10分）
∴△≥0?b²≥3，又，
∴．
綜上．…（14分）
分析：（1）先由函數(shù)的解析式求出函數(shù)的定義域，要判斷出其定義關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，進(jìn)而由函數(shù)的解析式，判斷出f（-x）=-f（x），最后由函數(shù)奇偶性的定義，得到結(jié)論；再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且x₁≠x₂，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出x₁=-x₂從而得到A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
（2）由（1）知A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），利用斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線l₁，l₂都與AB垂直，得到方程3t²-4bt+b²+1=0有非負(fù)實(shí)根，利用根的判別式即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與應(yīng)用、一元二次方程根的分布；考查換元法考查推理論證能力．