Question

（06年安徽卷）（12分）

如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。

（Ⅰ）證明⊥；

（Ⅱ）求面與面所成二面角的大小。

Answer 1

解析：（Ⅰ）在正六邊形ABCDEF中，為等腰三角形，

∵P在平面ABC內的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內的射影；∵O為BF中點，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴，，。

過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以為所求二面角平面角。

在中，OH=，=。

在中，；

而

（Ⅱ）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，∴，，

設平面PAB的法向量為，則，，得，；

設平面PDB的法向量為，則，，得，；