Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點．
（Ⅰ）求證：PB∥平面EFH；
（Ⅱ）求證：PD⊥平面AHF；
（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證PB∥平面EFH，須證PB平行平面EFH內(nèi)的一條直線即可．
（Ⅱ）要證PD⊥平面AHF，須證PD垂直面內(nèi)兩條相交直線即可．
（Ⅲ）求二面角H-EF-A的大�。�必須找出二面角的平面角，求解即可．
解答：解法一：
（Ⅰ）證明：∵E，H分別是線段PA，AB的中點，
∴EH∥PB．
又∵EH?平面EFH，PB∉平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）解：∵F為PD的中點，且PA=AD，∴PD⊥AF，
又∵PA⊥底面ABCD，BA?底面ABCD，∴AB⊥PA．
又∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥AD．
又∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．
又∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AF=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD，
∵AD?平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB，
∵E，F(xiàn)分別是線段PA，PD的中點，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB．
∵EH?平面PAB，EA?平面PAB，∴EF⊥EH，∴EF⊥EA，
∴∠HEA就是二面角H-EF-A的平面角．
在Rt△HAE中，，∴∠AEH=45°，
所以二面角H-EF-A的大小為45°．

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F(xiàn)（0，1，1），H（1，0，0）．
（Ⅰ）證明：∵，，
∴，
∵PB∉平面EFH，且EH?平面EFH，
∴PB∥平面EFH．

（Ⅱ）解：，，，
，
．
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
又∵AF∩AH=A，∴PD⊥平面AHF．

（Ⅲ）設(shè)平面HEF的法向量為，
因為，，
則取．
又因為平面AEF的法向量為，
所以，
∴，
所以二面角H-EF-A的大小為45°．
點評：本題考查空間直線與平面之間的位置關(guān)系，平面與平面之間的位置關(guān)系，是中檔題．