Question

（1）若sin（3π+θ）=

1

4

，求

cos(π+θ)

cosθ[cos(π+θ)-1]

+

cos(θ-2π)

cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)

的值；
（2）已知0＜x＜

π

2

，利用單位圓證明：sinx＜x＜tanx．

Answer 1

考點：單位圓與周期性,同角三角函數基本關系的運用,運用誘導公式化簡求值

專題：直線與圓

分析：（1）利用誘導公式、平方關系對條件和所求的式子化簡后，代入值求解；
（2）由S_△OPA＜S_扇形OPA＜S_△OAE，分別表示出3個面積，可推得BP＜

AP

＜AE，所以sinx＜x＜tanx，據此判斷即可．

解答：解：（1）由sin（3π+θ）=

1

4

，可得sinθ=-

1

4

，
∴

cos(π+θ)

cosθ[cos(π+θ)-1]

+

cos(θ-2π)

cos(θ+2π)cos(π+θ)+cos(-θ)

=

-cosθ

cos(-cosθ-1)

+

cosθ

-cos2θ+cosθ

=

1

1+cosθ

+

1

1-cosθ

=

2

(1+cosθ)(1-cosθ)

=

2

1-cos2θ

=

2

sin2θ

=32，
（2）∵S_△OPA＜S_扇形OPA＜S_△OAE，
S△OPA=

1

2

•1•BP，S扇形OPA=

1

2

•1•

AP

，S△OAE=

1

2

•1•AE，
∴BP＜

AP

＜AE，
∴sinx＜x＜tanx．

點評：本題主要考查了同角三角函數的基本關系，三角函數線，以及單位圓的性質的運用，屬于基礎題．