Question

20．已知點M是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左支上一點，F(xiàn)是其右焦點，若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{MF}$=0，且$\overrightarrow{PM}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MF}$，當|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$a時，該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由向量的垂直和共線的條件，可得線段OP垂直平分線段MF，設雙曲線的左焦點為F'，運用中位線定理和雙曲線的定義，結合勾股定理和離心率公式，計算即可得到所求．

解答 解：若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{MF}$=0，且$\overrightarrow{PM}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{MF}$，
可得線段OP垂直平分線段MF，
設雙曲線的左焦點為F'，
在△MFF'中，OP為中位線，
則∠FMF'=90°，MF'=2OP=a，
由雙曲線的定義，可得MF-MF'=2a，
即有MF=3a，
由勾股定理，可得MF²+MF'²=FF'²，
即為9a²+a²=4c²，
即有c²=$\frac{5}{2}$a²，
即離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選A．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，同時考查向量的共線和垂直的條件，考查平面幾何的定理的運用，屬于中檔題．