Question

14．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）²+lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）a=$\frac{1}{2}$時(shí)，令h（x）=f（x）-3lnx+x-$\frac{1}{2}$．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）≤x-1對?x∈[1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系分類討論即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+lnx，（x＞0）…（1分）
f'（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$=-$\frac{（x-2）（x+1）}{2x}$，…（2分）
①當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；
②當(dāng)x＞2時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，h（x）=f（x）-3lnx+x-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，
∴h′（x）=x-$\frac{2}{x}$
令h′（x）=0解得x=$\sqrt{2}$，…（5分）
當(dāng)x∈[1，$\sqrt{2}$]時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈[$\sqrt{2}$，e）時(shí)，h′（x）＞0，
故x=$\sqrt{2}$是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點(diǎn)，…（6分）
故h（x）_min=h（$\sqrt{2}$）=1-ln2，
又h（1）=$\frac{1}{2}$，h（e）=$\frac{1}{2}$e²-2$＞\frac{1}{2}$，
所以h（x）_max=$\frac{1}{2}$e²-2．…（8分）    
（Ⅲ）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，…（9分）
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），
∴$g'（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，…（10分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…（11分）
②當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$時(shí)，$x=\frac{1}{2a}≤1$，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…（12分）
③當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時(shí)，x=$\frac{1}{2a}$＞1，則f（x）在[1，$\frac{1}{2a}$]上單調(diào)遞減，[$\frac{1}{2a}$，+∞）單調(diào)遞增，
則存在$\frac{1}{a}$∈[$\frac{1}{2a}$，+∞），有g(shù)（$\frac{1}{a}$）=a（$\frac{1}{a}$-1）²+ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+1=-lna+a-1＞0，
所以不成立，…（13分）
綜上得a≤0．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，以及函數(shù)恒成立的問題，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于難題．