Question

廊坊市某所中學(xué)有一塊矩形空地，學(xué)校要在這塊空地上修建一個內(nèi)接四邊形的花壇（如圖所示），該花壇的四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知 A B=a（a＞2），BC=2，且 A E=A H=CF=CG，設(shè) A E=x，花壇面積為y．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng) A E為何值時，花壇面積y最大？

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求得四邊形ABCD，△AHE的面積，再分割法求得四邊形EFGH的面積，即建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）知y是關(guān)于x的二次函數(shù)，用二次函數(shù)求最值的方法求解．

解答： 解：（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，0＜x≤2（7分）
（2）當(dāng)

a+2

4

＜2，即a＜6時，則x=

a+2

4

時，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
當(dāng)

a+2

4

≥2，即a≥6時，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函數(shù)，
則x=2時，y取最大值2a-4（11分）
綜上所述：當(dāng)a＜6時，AE=

a+2

4

時，綠地面積取最大值

(a+2)2

8

；當(dāng)a≥6時，AE=2時，綠地面積取最大值2a-4（12分）．

點評：本題主要考查實際問題中的建模和解模能力，注意二次函數(shù)求最值的方法．