Question

（2013•烏魯木齊一模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將圓x²+y²=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮至原來的

1

2

，所得曲線記作C；將直線3x-2y-8=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得直線記作l．
（I）求直線l與曲線C的方程；
（II）求C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．

Answer 1

分析：（I）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為（x，y），則（x，2y）在圓x²+y²=4上，代入即可求得曲線C的方程，寫出直線3x-2y-8=0的極坐標(biāo)方程，記作l₀，設(shè)直線l上任一點(diǎn)為（ρ，θ），則點(diǎn)（ρ，θ-90°）在l₀上，代入化簡，再轉(zhuǎn)化為普通方程即可；
（II）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為M（2cosψ，sinψ），到直線l的距離為d=

|4cosψ+3sinψ-8|

22+32

，利用三角知識(shí)化為

|5cos(ψ-ψ0)-8|

13

即可求得其最大值；

解答：（Ⅰ）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為（x，y），則（x，2y）在圓x²+y²=4上，
于是x²+（2y）²=4，即

x2

4

+y2=1．
直線3x-2y-8=0的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ-2ρsinθ-8=0，將其記作l₀，
設(shè)直線l上任一點(diǎn)為（ρ，θ），則點(diǎn)（ρ，θ-90°）在l₀上，
于是3ρcos（θ-90°）-2ρsin（θ-90°）-8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ-8=0，
故直線l的方程為2x+3y-8=0；
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任一點(diǎn)為M（2cosψ，sinψ），
它到直線l的距離為d=

|4cosψ+3sinψ-8|

22+32

=

|5cos(ψ-ψ0)-8|

13

，
其中ψ₀滿足：cosψ₀=

4

5

，sinψ₀=

3

5

．
∴當(dāng)ψ-ψ₀=π時(shí)，d_max=

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線、橢圓的極坐標(biāo)方程，考查直線與圓錐曲線上點(diǎn)的距離問題，考查學(xué)生對(duì)問題的轉(zhuǎn)化能力．