Question

11．設x₁，x₂是函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}$+2bx的兩個極值點，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則$\frac{b-2}{a+2}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，1）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）∪（1，+∞）
• C． （$\frac{1}{4}$，1）
• D． （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 求導函數，利用f（x）的兩個極值點分別是x₁，x₂，x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），建立不等式，利用平面區(qū)域，即可求$\frac{b-2}{a+2}$的取值范圍．

解答 解：由題意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的兩個極值點分別是x₁，x₂，x₁∈（0，1），
x₂∈（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=2b＞0}\\{f′（1）=1+a+2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，
對應的平面區(qū)域如圖所示，三個頂點坐標為A（-1，0），
B（-2，0），C（-3，1），則
在（-1，0）處，$\frac{b-2}{a+2}$=-2，在（-3，1）處，$\frac{b-2}{a+2}$=1，
∴$\frac{b-2}{a+2}$的取值范圍是（-∞，-2）∪（1，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查導數知識的運用：求極值，考查平面區(qū)域的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．