Question

求函數(shù)f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（a∈R）在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即，再令g（x）=2x²-4x+2-a，對(duì)a進(jìn)行討論，從而得到
f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)、端點(diǎn)的函數(shù)值，比較極小值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，近而求出最小值．
解答：解：當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
所以 ，
設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．
①當(dāng)a≤0時(shí)，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e²]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a
②當(dāng)a＞0時(shí)，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得 或 （舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得 ．
1若 ，即a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e²+4-2a．
2若 ，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以 ．
3若 ，即0＜a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．
綜上所述，
當(dāng)a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；
當(dāng)2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，；
當(dāng)a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）_min=e²-4e+2-a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)合函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值問題，還有分類討論的思想，屬于中檔題．