Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點O作傾斜角為的直線n，交l于點A，交⊙M于另一點B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上的動點，求的最小值；
（Ⅲ）過l上的動點Q向⊙M作切線，切點為S，T，求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程；
（II）先表示出然后根據(jù)點在拋物線上將y消去，求關(guān)于x 的二次函數(shù)的最小值即可；
（III）以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦，設(shè)點Q（-1，t），根據(jù)QS²=QM²-4=t²+5，求出直線QS的方程，使直線與t無關(guān)，可求出定點坐標．
解答：解：（Ⅰ）因為，即p=2，所以拋物線C的方程為y²=4x（2分）
設(shè)⊙M的半徑為r，則，所以⊙M的方程為（x-2）²+y²=4（5分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）（x≥0），則=x²-3x+2+y²=x²+x+2（8分）
所以當x=0時，有最小值為2（10分）
（Ⅲ）以點Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦（11分）
設(shè)點Q（-1，t），則QS²=QM²-4=t²+5，
所以⊙Q的方程為（x+1）²+（y-t）²=t²+5（13分）
從而直線ST的方程為3x-ty-2=0（*）（14分）
因為一定是方程（*）的解，所以直線QS恒過一個定點，且該定點坐標為（16分）
點評：本題主要考查了圓的方程和拋物線方程，以及向量數(shù)量積的最值和直線恒過定點問題，是一道綜合題，有一定的難度．