Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點(diǎn)為O．
（Ⅰ）求證：SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）已知E為側(cè)棱SC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．試問(wèn)對(duì)于SC上任意一點(diǎn)E，平面BDE與平面SAC是否垂直？若垂直，請(qǐng)加以證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過(guò)證明SO⊥AC，SO⊥BD，AC∩BD=O，即可證明SO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，說(shuō)明SO⊥BD．然后證明AC⊥BD．利用AC∩SO=O，推出BD⊥面SAC．再證明平面BDE⊥平面SAC
解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，AC∩BD=O，
所以O(shè)是AC，BD中點(diǎn)．
由已知，SA=SC，SB=SD，
所以SO⊥AC，SO⊥BD，
又AC∩BD=O，
所以SO⊥平面ABCD．…（6分）
（Ⅱ）對(duì)于SC上任意一點(diǎn)E，平面BDE⊥平面SAC．
證明如下：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，
而BD?面ABCD，所以SO⊥BD．
又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD．
因?yàn)锳C∩SO=O，所以BD⊥面SAC．
又因?yàn)锽D?面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：考查重點(diǎn)考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力，推理論證能力．