分析:先根據(jù)題中新定義的“靚點(diǎn)”可知,當(dāng)x<0時(shí),f(x)=ax
2-x-5,其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱圖象的解析式為g(x)=-ax
2-x+5,所以函數(shù)f(x)的“靚點(diǎn)”就是g(x)=-ax
2-x+5(x>0)與t(x)=b•2
x-cx+3(x>0)這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)當(dāng)a=b=c=0時(shí),g(x)=-x+5(x>0),t(x)=3(x>0)通過解方程組
,即可得出函數(shù)f(x)的“靚點(diǎn)”;
(2)當(dāng)a=0且b=1時(shí),g(x)=-x+5(x>0),t(x)=2
x-cx+3(x>0),此時(shí)函數(shù)f(x)的“靚點(diǎn)”即為方程-x+5=2
x-cx+3的正根,通過研究此方程有正根即可求出c的取值范圍;
(3)當(dāng)c=a+1且b=0時(shí),g(x)=-ax
2-x+5(x>0),t(x)=-(a+1)x+3(x>0),要想f(x)恒有“靚點(diǎn)”,則方程-ax
2-x+5=-(a+1)x+3,即方程ax
2-ax-2=0恒有正根.記h(x)=ax
2-ax-2,通過對(duì)字母a的討論研究其圖象與性質(zhì)即可求出a的取值范圍.
解答:解:因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),f(x)=ax
2-x-5,其關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱圖象的解析式為g(x)=-ax
2-x+5,所以函數(shù)f(x)的“靚點(diǎn)”就是g(x)=-ax
2-x+5(x>0)與t(x)=b•2
x-cx+3(x>0)這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(1)當(dāng)a=b=c=0時(shí),g(x)=-x+5(x>0),t(x)=3(x>0)…(2分)
由
,解得x=2,所以函數(shù)f(x)的“靚點(diǎn)”為x=2 …(5分)
(2)當(dāng)a=0且b=1時(shí),g(x)=-x+5(x>0),t(x)=2
x-cx+3(x>0),
此時(shí)函數(shù)f(x)的“靚點(diǎn)”即為方程-x+5=2
x-cx+3的正根 …(7分)
方程變形為2
x=(c-1)x+2,設(shè)y
1=2
x,y
2=(c-1)x+2
因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),y
1<y
2,結(jié)合圖象知,要想f(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)“靚點(diǎn)”,
則當(dāng)x=1時(shí),必須有y
1>y
2,即2>(c-1)+2,解得c<1…(10分)
(3)當(dāng)c=a+1且b=0時(shí),g(x)=-ax
2-x+5(x>0),t(x)=-(a+1)x+3(x>0),
要想f(x)恒有“靚點(diǎn)”,則方程-ax
2-x+5=-(a+1)x+3,
即方程ax
2-ax-2=0恒有正根 …(12分)
記h(x)=ax
2-ax-2,
①當(dāng)a=0時(shí),方程無解,不適合題意…(13分)
②當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閔(0)=-2<0,且h(x)的圖象是開口向上的拋物線,所以方程h(x)=0一定有正根,所以a>0適合題意…(14分)
③當(dāng)a<0時(shí),由
,解得a≥0或a≤-8,所以a≤-8…(15分)
綜上所述,a的取值范圍是a>0或a≤-8 …(16分)
(說明:其它解法,仿此給分)