Question

【題目】已知 （x≥0）成等差數列．又數列{an}（an＞0）中，a1＝3 ，此數列的前n項的和Sn（n∈N*）對所有大于1的正整數n都有Sn＝f（Sn－1）．

（1）求數列{an}的第n＋1項；

（2）若是，的等比中項，且Tn為{bn}的前n項和，求Tn.

Answer 1

【答案】（1） an＋1＝6n＋3（2）

【解析】

試題分析：（1）有（x≥0）成等差數列，利用等差數列定義得到f（x）的函數解析式，再利用Sn=f（Sn-1）得到數列an的關于前n項和式子，在有前n項和求出數列的第n+1項；（2）由于是，的等比中項，所以可以利用等比中項的定義得到數列bn的通項公式，在利用裂項相消法可以求{bn}的前n項和Tn

試題解析：因為，， （x≥0）成等差數列，所以×2＝＋.

所以f（x）＝（＋）2.

因為Sn＝f（Sn－1）（n≥2），

所以Sn＝f（Sn－1）＝（＋）2.

所以＝＋，－＝.

所以{}是以為公差的等差數列．

因為a1＝3，所以S1＝a1＝3.

所以＝＋（n－1） ＝＋－＝n.

所以Sn＝3n2（n∈N*）．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3（n＋1）2－3n2＝6n＋3.

（2）因為數列是，的等比中項，

所以（）2＝·，

所以bn＝＝＝.

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝