已知函數(shù)f(x)=(1+x)n(x>-1,n∈N*)在點(0,1)處的切線L為y=g(x)
(Ⅰ)求切線L并判斷函數(shù)f(x)在x∈(-1,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)求證:f(x)≥g(x)對任意的x∈(-1,+∞)都成立;
(Ⅲ)求證:已知m,n∈N*,Sm=1m+2m+…+nm,求證:nm+1<(m+1)Sm
分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)可求得切線y=g(x)的斜率,利用直線的點斜式即可得到切線L的方程,由f′(x)>0,可求得f(x)在x∈(-1,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1+x)n-nx-1,可求得h′(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1],可分①n=1與②n≥2兩種情況討論,即可證f(x)≥g(x)對任意的x∈(-1,+∞)都成立;
(Ⅲ)通過分析法:要證:nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm),只需證:(1m+1-0m+1)+(2m+1-1m+1)+…+(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)(1m+2m+…+nm),
只需證:(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)nm,整理即可得證.
解答:解:(Ⅰ)f′(0)=n,所以:y-1=n(x-0)⇒g(x)=nx+1,f′(x)=n(1+x)n-1,
∵x>-1,
∴f′(x)>0,所以f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增;-(4分)
(Ⅱ)要證:(1+x)n≥1+nx(x>-1,n∈N*)有三條可能的路徑:
(1)二項式定理展開比較法(不難得證);
(2)數(shù)學歸納法(可參見選修4-5的貝努力不等式)
(3)構(gòu)造新函數(shù)法:要證:(1+x)n≥1+nx(x>-1,n∈N*),
把n當成常數(shù),把x當成變量,構(gòu)造函數(shù)h(x)=(1+x)n-nx-1,
h′(x)=n(x+1)n-1-n=n[(x+1)n-1-1]--------------------------------(5分)
①n=1時,h(x)=0滿足題意------------------------------------(6分)
②n≥2時,由(Ⅰ)知y=(x+1)n-1在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,
h′(x)>0?(x+1)n-1>1=(0+1)n-1?x>0
所以h(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減;(0,+∞)上單調(diào)遞增,
所以h(x)≥h(0)=0,即f(x)≥g(x)對任意的x∈(-1,+∞)都成立-------(8分)
構(gòu)造左n項右n項
(Ⅲ)要證:nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm),
只需證:(1m+1-0m+1)+(2m+1-1m+1)+…+(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)(1m+2m+…+nm),
只需證:(nm+1-(n-1)m+1)<(m+1)nm,
只需證:n-(1-
1
n
)
m
(n-1)<m+1,只需證:n-m-1<(1-
1
n
)
m
(n-1),
(1-
1
n
)
m
(n-1)>(1-
m
n
)(n-1)=n-1-m+
m
n
>n-1-m成立,
所以nm+1<(m+1)(1m+2m+…+nm)成立.-----------------------------------------------------(14分)
點評:本題考查綜合法與分析法,考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程及函數(shù)的單調(diào)性,突出考查分析法,考查構(gòu)造函數(shù)思想與分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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