Question

12．（1）計(jì)算1+2，1+2+2²，1+2+2²+2³的值，并猜測(cè)1+2+2²+2³+…+2^n-1（n∈N^*）的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)以上猜測(cè)進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算，并猜想即可得到結(jié)論．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，去證明等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立，用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立即可．

解答 （1）解：1+2=3，1+2+2²=7，1+2+2²+2³=15，
猜測(cè)1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1----------（4分）
（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，左=右=1，成立；----------（6分）
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即1+2+2²+2³+…+2^k-1=2^k-1，----------（8分）
當(dāng)n=k+1時(shí)，
左=1+2+2²+2³+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k=2^k+1-1=右，即n=k+1時(shí)，等式成立；
綜上所述，原式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，用好歸納假設(shè)是關(guān)鍵，考查邏輯推理與證明的能力，屬于中檔題．