Question

20．（Ⅰ）如圖1所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點(diǎn)A（1，0），M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0的軌跡為曲線E．求曲線E的方程．
（Ⅱ）如圖2所示，已知圓 E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$經(jīng)過橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為 A，且F₁，E，A三點(diǎn)共線． 求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，可得|NA|=|NM|，利用等量代換可得|CN|+|AN|=2$\sqrt{2}$，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過F₁，E，A三點(diǎn)共線及半圓所對(duì)的圓周角為直角及圓E過（x，0），計(jì)算可得c=$\sqrt{2}$，利用勾股定理可得$|A{F}_{2}{|}^{2}$=1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{NP}$•$\overrightarrow{AM}$=0，
∴NP為AM的垂直平分線，
∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2$\sqrt{2}$，
∴|CN|+|AN|=2$\sqrt{2}$＞2，
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，
且橢圓長軸長為2a=2$\sqrt{2}$，焦距2c=2，
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，b²=a²-c²=1，
∴曲線E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）如圖，圓E經(jīng)過橢圓C的左、右焦點(diǎn)F₁、F₂，
∵F₁，E，A三點(diǎn)共線，
∴F₁A為圓E的直徑，
∴AF₂⊥F₁F₂，
∵x²+（0-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴x=±$\sqrt{2}$，∴c=$\sqrt{2}$，
∴$|A{F}_{2}{|}^{2}$=$|A{F}_{1}{|}^{2}$-$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$=9-8=1，
∴2a=F₁A+AF₂=4，
∵a²=b²+c²，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的方程，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．