Question

14．如圖，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，△BEC為等邊三角形，
（1）若平面ABE⊥平面ADE，求CD長度；
（2）求直線AB與平面ADE所成角的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)|CD|=d，取BE、AE中點(diǎn)O、F，連結(jié)OC、OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE、OC、OF為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，求出平面ABE的法向量、面ADE的一個法向量，利用平面ABE⊥平面ADE，求CD長度；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，求直線AB與平面ADE所成角的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)|CD|=d，取BE、AE中點(diǎn)O、F，連結(jié)OC、OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE、OC、OF為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則A（-2，0，4），B（-2，0，0），$C（0，2\sqrt{3}，0），D（0，2\sqrt{3}，d），E（2，0，0）$，
可得平面ABE的法向量為$\overrightarrow{OC}=（0，2\sqrt{3}，0）$
設(shè)面ADE的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=4x-4z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DE}=-2x+2\sqrt{3}y+dz=0\end{array}\right.$可得$\overrightarrow n=（1，\frac{2-d}{{2\sqrt{3}}}，1）$
所有$\overrightarrow n•\overrightarrow{OC}=0⇒d=2$，所以CD長度為2．
（2）由（1）可知：面ADE的一個法向量$\overrightarrow n=（1，\frac{2-d}{{2\sqrt{3}}}，1）$，設(shè)直線AB與面ADE所成角為θ，則$sinθ=|\frac{{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow n|}}|=\frac{4}{{4\sqrt{1+1+\frac{{{{（2-d）}^2}}}{12}}}}∈（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，所以$θ∈（0，\frac{π}{4}]$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，考查線面角，考查向量知識的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．