Question

設(shè)函數(shù)，其導函數(shù)為.

（1）若，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若為整數(shù)，若時，恒成立，試求的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：；（3）整數(shù)k的最大值為2.

【解析】

試題分析：（1）時，，求導函數(shù)得，可得切線方程；（2）,當在上單調(diào)遞增，當時，通過可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若時，恒成立，只需的最小值即可，，又在單調(diào)遞增，而，知在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點且，得.可得整數(shù)k的最大值為2.

【解析】
（1）因為時，，所以，

故切線方程是

（2）的定義域為R，，

若在上單調(diào)遞增；

若解得，

當變化時，變化如下表：

	減	極小值	增

 

所以的單調(diào)減區(qū)間是：，增區(qū)間是：．

（3）即 ① ，

令則．

由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，而，

所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，

且．

當時，；當時，，所以

．

又由，即得，所以，

這時．

由于①式等價，故整數(shù)k的最大值為2.

考點：導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.