Question

已知向量

a

=（1，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），

π

4

≤θ≤

π

2

，則

a

•

b

的取值范圍是

[1，

3+ 2

2

]

．

Answer 1

分析：用向量的坐標表示數(shù)量積，得到關(guān)于θ的三角函數(shù)，求導函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，運用函數(shù)單調(diào)性求值域．

解答：解：由

a

=（1，1+sinθ），

b

=（1，cosθ），
∴

a

•

b

=1+cosθ+sinθcosθ，
令f（θ）=1+cosθ+sinθcosθ，
f^′（θ）=-sinθ+cos²θ-sin²θ=-2sin²θ-sinθ+1，
∵

π

4

≤θ≤

π

2

，∴sinθ∈[

2

2

，1]，f^′（θ）=-2sin²θ-sinθ+1＜0，
∴f（θ）=1+cosθ+sinθcosθ在[

π

4

，

π

2

]上為減函數(shù)，
∴f(θ)min=f(

π

2

)=1，f(θ)max=f(

π

4

)=

3+ 2

2

，
所以

a

•

b

的取值范圍是[1，

3+ 2

2

]．
故答案為[1，

3+ 2

2

]

點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，考查了利用函數(shù)導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導函數(shù)在區(qū)間上為正，原函數(shù)在相應區(qū)間上是增函數(shù)，導函數(shù)是負，原函數(shù)是減函數(shù)，此題是中檔題．