Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R，且為單調(diào)函數(shù)，并滿足f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2．
①求f（2）；
②解不等式f（-x）•f（3-x）≥4．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令x=y=1時，由條件可求出f（2）；②由條件得，f（-x）•f（3-x）=f（3-2x），再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到3-2x≥2，解出即可．

解答： 解：①∵f（x+y）=f（x）•f（y），f（1）=2．
∴令x=y=1時，則f（2）=f（1）•f（1）=4．
②由題意可得f（-x）•f（3-x）=f（3-2x），
由于函數(shù)f（x）為單調(diào)函數(shù)，f（1）=2，f（2）=4．
則函數(shù)為增函數(shù)，
∴f（3-2x）≥f（2），
即3-2x≥2，
∴x≤

1

2

．
∴原不等式的解集為（-∞，

1

2

]．

點評：本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，屬于中檔題．