Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）且離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)B（-1，0）作直線l，使l與橢圓C交M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入橢圓方程，利用離心率，構(gòu)造方程組，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線l與橢圓C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線代入橢圓的方程，再利用韋達(dá)定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根據(jù)OM⊥ON，即$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求得k的值．根可得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
∵橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{{4b}^{2}}=1\\ \frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=4\\^{2}=1\end{array}\right.$∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率存在，過點(diǎn)B（-1，0）的直線l，y=k（x+1）．
設(shè)直線l與橢圓C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=kx+k\end{array}\right.$，可得 （4k²+1）x²+8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$．
∵OM⊥ON，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，
即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂+k²（x₁+x₂）+k²=0，
即 （1+k²）（$-\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$）+k²（×$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$）+k²=0，解得k=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
故直線l的方程為：y=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$（x+1），即$\sqrt{21}$x-7y+$\sqrt{21}$=0，或$\sqrt{21}$x+7y-$\sqrt{21}$=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的Z綜合應(yīng)用，屬于中檔題．