Question

【題目】定義（，）為有限實數(shù)列的波動強度.

（1）求數(shù)列1，4，2，3的波動強度；

（2）若數(shù)列，，，滿足，判斷是否正確，如果正確請證明，如果錯誤請舉出反例；

（3）設(shè)數(shù)列，，，是數(shù)列，，，，的一個排列，求的最大值，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是正確的，詳見解析（3）當(dāng)為偶數(shù)時，，；當(dāng)為奇數(shù)時，，

【解析】

（1）根據(jù)波動強度的定義直接計算；

（2）作差，利用或判斷正負(fù)即可；

（3）設(shè)，，是單調(diào)遞增數(shù)列，可整理，其中，，并且.經(jīng)過上述調(diào)整后的數(shù)列，系數(shù)不可能為0，分的奇偶性討論，確定各自含有的的個數(shù)，進(jìn)而求出的最大值.

解：（1）

（2）是正確的

證明：

或，

且

所以，即

并且當(dāng)時，可以取等號，當(dāng)時，可以取等號，

所以等號可以取到；

（3）設(shè)，，是單調(diào)遞增數(shù)列.

分是奇、偶數(shù)情況討論

，其中，，并且.經(jīng)過上述調(diào)整后的數(shù)列，系數(shù)不可能為0.

當(dāng)為偶數(shù)時，系數(shù)中有個和個，個和個.

當(dāng)為奇數(shù)時，有兩種情況：系數(shù)中有個和個，個；

或系數(shù)中有個和個，個.

[1]是偶數(shù)，，

[2]是奇數(shù)，，

因為，，可知

綜上，當(dāng)為偶數(shù)時，，；

當(dāng)為奇數(shù)時，，